証明

1.長方形の対角線の長さは等しい。

△ABCと△DCBで

平行四辺形なので

AB=DC                            1

BC=CB(共通)                  2

長方形なので

∠ABC=∠DCB=90°    3

1、2、3より、2辺とその間の角が、それぞれ等しいので

△ABC≡△DCB

よって

AC=DB

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2.ひし形の対角線は垂直に交わる。

△ABOと△ADOで

ひし形なので

AB=AD                1

ひし形は平行四辺形なので

BO=DO                2

AO=AO(共通)    3

1、2、3より3辺がそれぞれ等しく

△ABO≡△ADO

∠AOB=∠AOD

∠AOB+∠AOD=180°

∠AOB=90°

よって

AO⊥BD

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長方形

対角線の長さが等しく、それぞれの中点で交わるとき長方形になる。

証明

それぞれの中点で交わるので四角形ABCDは平行四辺形になる。

△ABCと△DCBで

平行四辺形ABCDの性質より

AB=DC                    1

BC=CB(共通)           2

仮定(対角線の長さが等しい)より

AC=DB                   3

1,2,3より3辺がそれぞれ等しいので

△ABC≡△DCB

よって

∠B=∠C

平行四辺形の性質より

∠A=∠C、∠B=∠D

∠A=∠B=∠C=∠D

となるので長方形になる。

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ひし形

対角線がそれぞれの中点で垂直に交わるときひし形になる。

それぞれの中点で交わるので四角形ABCDは平行四辺形になる。

△AOBと△COBと△CODと△AODで

平行四辺形の性質より

BO=BO=DO=DO            1

AO=CO=CO=AO            2

仮定(垂直に交わる)より

AC⊥BD                        3

よって

∠AOB=∠COB=∠COD=∠AOD    4

1,2,4より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△AOB≡△COB≡△COD≡△AOD

よって

AB=CB=CD=AD

となるのでひし形になる。

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