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1.長方形の対角線の長さは等しい。△ABCと△DCBで 平行四辺形なので AB=DC 1 BC=CB(共通) 2 長方形なので ∠ABC=∠DCB=90° 3 1、2、3より、2辺とその間の角が、それぞれ等しいので △ABC≡△DCB よって AC=DB 2.ひし形の対角線は垂直に交わる。△ABOと△ADOで ひし形なので AB=AD 1 ひし形は平行四辺形なので BO=DO 2 AO=AO(共通) 3 1、2、3より3辺がそれぞれ等しく △ABO≡△ADO ∠AOB=∠AOD ∠AOB+∠AOD=180° ∠AOB=90° よって AO⊥BD 長方形対角線の長さが等しく、それぞれの中点で交わるとき長方形になる。 証明 それぞれの中点で交わるので四角形ABCDは平行四辺形になる。 △ABCと△DCBで 平行四辺形ABCDの性質より AB=DC 1 BC=CB(共通) 2 仮定(対角線の長さが等しい)より AC=DB 3 1,2,3より3辺がそれぞれ等しいので △ABC≡△DCB よって ∠B=∠C 平行四辺形の性質より ∠A=∠C、∠B=∠D ∠A=∠B=∠C=∠D となるので長方形になる。 ひし形対角線がそれぞれの中点で垂直に交わるときひし形になる。 それぞれの中点で交わるので四角形ABCDは平行四辺形になる。 △AOBと△COBと△CODと△AODで 平行四辺形の性質より BO=BO=DO=DO 1 AO=CO=CO=AO 2 仮定(垂直に交わる)より AC⊥BD 3 よって ∠AOB=∠COB=∠COD=∠AOD 4 1,2,4より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので △AOB≡△COB≡△COD≡△AOD よって AB=CB=CD=AD となるのでひし形になる。 |