問題

１

四角形PQRSは平行四辺形である。

証明

△ABCで、P，Qは、それぞれ、AB，BCの中点だから、

PQ//AC，PQ＝１／２AC            １

△ADCで、R，Sは、それぞれ、CD，DAの中点だから、

RS//AC，RS＝１／２AC            ２

１，２から、PQ//RS，PQ=RS

したがって、四角形PQRSは平行四辺形である。

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２

四角形PQRSは長方形である。

証明

１　より四角形PQRSは、平行四辺形である。

△ABCと△BCDで中点連結定理から、

PQ//AC，QR//BD                １

また、四角形ABCDはひし形だから

AC⊥BD                               ２

１，２よりPQ⊥QR

一つの内角が直角の平行四辺形は長方形なので、

四角形PQRSは長方形である。

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３

対角線は等しくなる。

証明

２　より

PQ=１／２AC，QR＝１／２BD        １

ひし形PQRSは、PQ=QR            ２

１，２より

AC=BD

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４

△ABCにおいて、中点連結定理より、

PR//BC，PR＝１／２BC        １

△DBCにおいて、同じように、

SQ//BC，SQ=１／２BC        ２

１，２より

PR//SQ，PR=SQ

よって、四角形PRQSは平行四辺形である。