円周角の定理の逆の証明

△ABCの外接円の中心をOとし,△ABPの外接円の中心をO'とする。

仮定より ∠ACB=∠APB・・・・・・・1

△AOBと△AO'Bで

円周角の定理より

∠AOB=2∠ACB・・・・・・・・・・・・・・・2

OA=OB(半径)

二等辺三角形の底角より

∠OAB=∠OBA=(180-∠AOB)÷2・・・3

∠AO’B=2∠APB・・・・・・・・・・・・・・4

同様に

∠O’AB=∠O’BA=(180-∠AO’B)÷2・・・5

1,2,4より

∠AOB=∠AO’B・・・・・・・・・・・・・・・6

3,5,6より

∠OAB=∠OBA=∠O’AB=∠O’BA・・・・7

AB=AB(共通)・・・・・・・・・・・・・・・・・・8

7,8より一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△AOB≡△AO'B

よって辺ABが共通なので

△AOBと△AO'Bは重なり点Oと点O'は同じ点になる。

また半径OA,半径O'Aも等しいので

円Oと円O'は同じ円となり

4点A,B,C,Pは同じ円周上にある。

<戻る>

上へ