中点連結定理の解答

問題

四角形PQRSは平行四辺形である。

証明

△ABCで、P,Qは、それぞれ、AB,BCの中点だから、

PQ//AC,PQ=1/2AC            1

△ADCで、R,Sは、それぞれ、CD,DAの中点だから、

RS//AC,RS=1/2AC            2

1,2から、PQ//RS,PQ=RS

したがって、四角形PQRSは平行四辺形である。

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四角形PQRSは長方形である。

証明

1 より四角形PQRSは、平行四辺形である。

△ABCと△BCDで中点連結定理から、

PQ//AC,QR//BD                1

また、四角形ABCDはひし形だから

AC⊥BD                               2

1,2よりPQ⊥QR

一つの内角が直角の平行四辺形は長方形なので、

四角形PQRSは長方形である。

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対角線は等しくなる。

証明

2 より

PQ=1/2AC,QR=1/2BD        1

ひし形PQRSは、PQ=QR            2

1,2より

AC=BD

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△ABCにおいて、中点連結定理より、

PR//BC,PR=1/2BC        1

△DBCにおいて、同じように、

SQ//BC,SQ=1/2BC        2

1,2より

PR//SQ,PR=SQ

よって、四角形PRQSは平行四辺形である。

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