中点連結定理の証明

証明1

MNを延長した直線上にMN=NDとなる点Dをとる。

四角形AMCDで

AN=NC, MN=ND

対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形AMCDは平行四辺形になる。

よって

AM=DC, AM//DC

仮定より

AM=MB

MB=DC,MB//DC

となり向かい合う1組の辺が平行で等しくなるので四角形MBCDは平行四辺形になる。

平行四辺形なので

MD//BC,MD=BC

よって

MN//BC,MN=1/2BC

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証明2

点Nを通り、平行四辺形ABDEとなるように作図する。

△NAEと△NCDで

仮定より、AN=CN ・・・・・1

対頂角より、∠ANE=∠DNC ・・・・・2

AE//DCなので、∠NAE=∠NCD ・・・・・3

1,2,3より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△NAE≡△NCD

対応する辺なのでEN=DN

作図より BM//DN

平行四辺形の対辺なので AB=ED

よって BM=DN

1組の対辺が平行で等しいので四角形MBDNは平行四辺形になる。

よってBC//MN

△NAE≡△NCDの対応する辺なので

DC=EA

平行四辺形ABDE、平行四辺形MBDNより

AE=BD

BD=MN

よってMN=1/2BC

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