平行四辺形になる条件の証明

 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。

△ABCと△CDAで、

AB=CD                    1

BC=DA                    2

AC=CA(共通)            3

1,2,3より3辺がそれぞれ等しいので、

△ABC≡△CDA

よって

∠BAC=∠DCA(平行線になる条件

AB//DC

∠BCA=∠DAC

AD//BC

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 2組の向かいあう角が、それぞれ等しい。

仮定より

∠A=∠C,∠B=∠D

∠A+∠C+∠B+∠D=360°

∠A+∠B=180°

ABを延長して点Eをとる

∠ABC+∠CBE=180°(直線)

∠A=∠CBE(平行線になる条件

AB//DC

∠C=∠CBE

AD//BC

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 対角線が、それぞれの中点で交わる。

△ABOと△CDOで

AO=CO                        1

BO=DO                        2

∠AOB=∠COD(対頂角)3

1,2,3より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ABO≡△CDO

だから

AB=CD                        4

同様に

△ADOと△CBOで

AD=CB                        5

4,5より向かい合う辺がそれぞれ等しいので四角形ABCDは平行四辺形になる。

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 1組の向かいあう辺が、等しくて平行である。

△ABCと△CDAで

BC=DA                            1

AD//BC(平行線の性質

∠ACB=∠CAD                 2

AC=CA(共通)                   3

1,2,3より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ABC≡△CDA

AB=CD                            4

1,4より向かい合う辺がそれぞれ等しいので四角形ABCDは平行四辺形になる。

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