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（ア）
△OPAで，OP=OA（半径）だから，・・・・１ ∠OPA=∠OAP（二等辺三角形の底角）・・・・２ ∠AOB=∠OPA＋∠OAP（三角形の外角） １，２より ∠AOB＝２∠OPA したがって ∠APB=１∠AOB （イ）
直径POKを引くと，（ア）の証明と同様に △OPAで，∠AOK＝２∠OPA・・・・・３ △OPBで，∠BOK=２∠OPB・・・・・・４ ３＋４で ∠AOB＝２（∠OPA＋∠OPB） ＝２∠APB したがって ∠APB=１∠AOB （ウ）
直径POKを引くと，（ア）の証明と同様に △OPAで，∠AOK＝２∠OPA・・・・・５ △OPBで，∠BOK=２∠OPB・・・・・・６ ６−５で ∠AOB＝２（∠OPB−∠OPA） ＝２∠APB したがって ∠APB=１∠AOB |
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